投针估算π

题目

“投针”可以近似 $\pi$ 的值。在无限大的桌面上设置间距为 d 的一组平行线。将 M 个长度为 d 的针随机投掷到桌面上，若其中有 m 个针压到了某条线，则 $\pi$ 的近似值为 $\frac{2M}{m}$。

解析

布丰投针问题的数学原理：

1. 设针长为 $\ell$，平行线间距为 $d$
2. 针与任意一条线相交的概率为 $P(\text{相交})=\frac{2\ell }{\pi d}$
3. 当 $\ell =d$ 时，$\pi =\frac{2N_{\text{总}}}{N_{\text{相交}}}$，其中：
   • $N_{\text{总}}$ 是投掷总次数
   • $N_{\text{相交}}$ 是相交次数

判断相交的条件：针中点到最近平行线的距离 $y\le \frac{\ell }{2}|\sin (\theta )|$，其中 $\theta$ 是针与线的夹角。

证明

设针中点到最近平行线的距离为 $y$，针与线的夹角为 $\theta$，则：

1. $y$ 在 $[0,\frac{d}{2}]$ 上均匀分布
2. $\theta$ 在 $[0,\pi ]$ 上均匀分布
3. 相交概率为：

$$P(\text{相交})=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}\frac{\ell \sin \theta }{d}d\theta =\frac{2\ell }{\pi d}$$

答案

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

int main(void) {
    int M;
    printf("输入投掷次数：");
    scanf("%d", &M);

    srand(time(NULL));
    int cross = 0;
    const double d = 1.0;  // 线间距
    const double l = 1.0;  // 针长

    for(int i = 0; i < M; i++) {
        // y 是针中点到最近线的距离
        double y = (double)rand() / RAND_MAX * (d/2);
        // theta 是针与线的夹角
        double theta = (double)rand() / RAND_MAX * M_PI;

        // 判断是否相交
        if(y <= (l/2) * sin(theta)) {
            cross++;
        }
    }

    double pi = 2.0 * M / cross;
    printf("π ≈ %.6f\n", pi);
    return 0;
}